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| 本文作者： 雷鋒專欄 | 2021-03-04 19:06 |
轉(zhuǎn)自丨博客園
作者丨計(jì)算機(jī)的潛意識(shí)
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一門重要的機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)。它是目前最為火熱的研究方向——深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅可以讓你掌握一門強(qiáng)大的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，同時(shí)也可以更好地幫助你理解深度學(xué)習(xí)技術(shù)。
本文以一種簡(jiǎn)單的，循序的方式講解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。適合對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)了解不多的同學(xué)。本文對(duì)閱讀沒有一定的前提要求，但是懂一些機(jī)器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)會(huì)更好地幫助理解本文。
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種模擬人腦的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以期能夠?qū)崿F(xiàn)類人工智能的機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)。人腦中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)非常復(fù)雜的組織。成人的大腦中估計(jì)有1000億個(gè)神經(jīng)元之多。
圖1 人腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
那么機(jī)器學(xué)習(xí)中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是如何實(shí)現(xiàn)這種模擬的，并且達(dá)到一個(gè)驚人的良好效果的？通過本文，你可以了解到這些問題的答案，同時(shí)還能知道神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的歷史，以及如何較好地學(xué)習(xí)它。
由于本文較長(zhǎng)，為方便讀者，以下是本文的目錄：
一.前言
二.神經(jīng)元
三.單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（感知器）
四.兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（多層感知器）
五.多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（深度學(xué)習(xí)）
六.歷史回顧
七.學(xué)習(xí)建議
八.展望
九.總結(jié)
十.后記
讓我們來看一個(gè)經(jīng)典的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。這是一個(gè)包含三個(gè)層次的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。紅色的是輸入層，綠色的是輸出層，紫色的是中間層（也叫隱藏層）。輸入層有3個(gè)輸入單元，隱藏層有4個(gè)單元，輸出層有2個(gè)單元。后文中，我們統(tǒng)一使用這種顏色來表達(dá)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。
圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖
在開始介紹前，有一些知識(shí)可以先記在心里：
設(shè)計(jì)一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，輸入層與輸出層的節(jié)點(diǎn)數(shù)往往是固定的，中間層則可以自由指定；
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖中的拓?fù)渑c箭頭代表著預(yù)測(cè)過程時(shí)數(shù)據(jù)的流向，跟訓(xùn)練時(shí)的數(shù)據(jù)流有一定的區(qū)別；
結(jié)構(gòu)圖里的關(guān)鍵不是圓圈（代表“神經(jīng)元”），而是連接線（代表“神經(jīng)元”之間的連接）。每個(gè)連接線對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的權(quán)重（其值稱為權(quán)值），這是需要訓(xùn)練得到的。
除了從左到右的形式表達(dá)的結(jié)構(gòu)圖，還有一種常見的表達(dá)形式是從下到上來表示一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。這時(shí)候，輸入層在圖的最下方。輸出層則在圖的最上方，如下圖：
圖3 從下到上的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖
從左到右的表達(dá)形式以Andrew Ng和LeCun的文獻(xiàn)使用較多，Caffe里使用的則是從下到上的表達(dá)。在本文中使用Andrew Ng代表的從左到右的表達(dá)形式。
下面從簡(jiǎn)單的神經(jīng)元開始說起，一步一步介紹神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的形成。
對(duì)于神經(jīng)元的研究由來已久，1904年生物學(xué)家就已經(jīng)知曉了神經(jīng)元的組成結(jié)構(gòu)。
一個(gè)神經(jīng)元通常具有多個(gè)樹突，主要用來接受傳入信息；而軸突只有一條，軸突尾端有許多軸突末梢可以給其他多個(gè)神經(jīng)元傳遞信息。軸突末梢跟其他神經(jīng)元的樹突產(chǎn)生連接，從而傳遞信號(hào)。這個(gè)連接的位置在生物學(xué)上叫做“突觸”。
人腦中的神經(jīng)元形狀可以用下圖做簡(jiǎn)單的說明：
圖4 神經(jīng)元
1943年，心理學(xué)家McCulloch和數(shù)學(xué)家Pitts參考了生物神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)，發(fā)表了抽象的神經(jīng)元模型MP。在下文中，我們會(huì)具體介紹神經(jīng)元模型。
圖5 Warren McCulloch（左）和 Walter Pitts（右）
神經(jīng)元模型是一個(gè)包含輸入，輸出與計(jì)算功能的模型。輸入可以類比為神經(jīng)元的樹突，而輸出可以類比為神經(jīng)元的軸突，計(jì)算則可以類比為細(xì)胞核。
下圖是一個(gè)典型的神經(jīng)元模型：包含有3個(gè)輸入，1個(gè)輸出，以及2個(gè)計(jì)算功能。
注意中間的箭頭線。這些線稱為“連接”。每個(gè)上有一個(gè)“權(quán)值”。
圖6 神經(jīng)元模型
連接是神經(jīng)元中最重要的東西。每一個(gè)連接上都有一個(gè)權(quán)重。
一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法就是讓權(quán)重的值調(diào)整到最佳，以使得整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)效果最好。
我們使用a來表示輸入，用w來表示權(quán)值。一個(gè)表示連接的有向箭頭可以這樣理解：在初端，傳遞的信號(hào)大小仍然是a，端中間有加權(quán)參數(shù)w，經(jīng)過這個(gè)加權(quán)后的信號(hào)會(huì)變成a*w，因此在連接的末端，信號(hào)的大小就變成了a*w。
在其他繪圖模型里，有向箭頭可能表示的是值的不變傳遞。而在神經(jīng)元模型里，每個(gè)有向箭頭表示的是值的加權(quán)傳遞。
圖7 連接（connection）
如果我們將神經(jīng)元圖中的所有變量用符號(hào)表示，并且寫出輸出的計(jì)算公式的話，就是下圖。
圖8 神經(jīng)元計(jì)算
可見z是在輸入和權(quán)值的線性加權(quán)和疊加了一個(gè)函數(shù)g的值。在MP模型里，函數(shù)g是sgn函數(shù)，也就是取符號(hào)函數(shù)。這個(gè)函數(shù)當(dāng)輸入大于0時(shí)，輸出1，否則輸出0。
下面對(duì)神經(jīng)元模型的圖進(jìn)行一些擴(kuò)展。首先將sum函數(shù)與sgn函數(shù)合并到一個(gè)圓圈里，代表神經(jīng)元的內(nèi)部計(jì)算。其次，把輸入a與輸出z寫到連接線的左上方，便于后面畫復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。最后說明，一個(gè)神經(jīng)元可以引出多個(gè)代表輸出的有向箭頭，但值都是一樣的。
神經(jīng)元可以看作一個(gè)計(jì)算與存儲(chǔ)單元。計(jì)算是神經(jīng)元對(duì)其的輸入進(jìn)行計(jì)算功能。存儲(chǔ)是神經(jīng)元會(huì)暫存計(jì)算結(jié)果，并傳遞到下一層。
圖9 神經(jīng)元擴(kuò)展
當(dāng)我們用“神經(jīng)元”組成網(wǎng)絡(luò)以后，描述網(wǎng)絡(luò)中的某個(gè)“神經(jīng)元”時(shí)，我們更多地會(huì)用“單元”（unit）來指代。同時(shí)由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表現(xiàn)形式是一個(gè)有向圖，有時(shí)也會(huì)用“節(jié)點(diǎn)”（node）來表達(dá)同樣的意思。
神經(jīng)元模型的使用可以這樣理解：
我們有一個(gè)數(shù)據(jù)，稱之為樣本。樣本有四個(gè)屬性，其中三個(gè)屬性已知，一個(gè)屬性未知。我們需要做的就是通過三個(gè)已知屬性預(yù)測(cè)未知屬性。
具體辦法就是使用神經(jīng)元的公式進(jìn)行計(jì)算。三個(gè)已知屬性的值是a1，a2，a3，未知屬性的值是z。z可以通過公式計(jì)算出來。
這里，已知的屬性稱之為特征，未知的屬性稱之為目標(biāo)。假設(shè)特征與目標(biāo)之間確實(shí)是線性關(guān)系，并且我們已經(jīng)得到表示這個(gè)關(guān)系的權(quán)值w1，w2，w3。那么，我們就可以通過神經(jīng)元模型預(yù)測(cè)新樣本的目標(biāo)。
1943年發(fā)布的MP模型，雖然簡(jiǎn)單，但已經(jīng)建立了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)大廈的地基。但是，MP模型中，權(quán)重的值都是預(yù)先設(shè)置的，因此不能學(xué)習(xí)。
1949年心理學(xué)家Hebb提出了Hebb學(xué)習(xí)率，認(rèn)為人腦神經(jīng)細(xì)胞的突觸（也就是連接）上的強(qiáng)度上可以變化的。于是計(jì)算科學(xué)家們開始考慮用調(diào)整權(quán)值的方法來讓機(jī)器學(xué)習(xí)。這為后面的學(xué)習(xí)算法奠定了基礎(chǔ)。
圖10 Donald Olding Hebb
盡管神經(jīng)元模型與Hebb學(xué)習(xí)律都已誕生，但限于當(dāng)時(shí)的計(jì)算機(jī)能力，直到接近10年后，第一個(gè)真正意義的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)才誕生。
1958年，計(jì)算科學(xué)家Rosenblatt提出了由兩層神經(jīng)元組成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。他給它起了一個(gè)名字--“感知器”（Perceptron）（有的文獻(xiàn)翻譯成“感知機(jī)”，下文統(tǒng)一用“感知器”來指代）。
感知器是當(dāng)時(shí)首個(gè)可以學(xué)習(xí)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。Rosenblatt現(xiàn)場(chǎng)演示了其學(xué)習(xí)識(shí)別簡(jiǎn)單圖像的過程，在當(dāng)時(shí)的社會(huì)引起了轟動(dòng)。
人們認(rèn)為已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了智能的奧秘，許多學(xué)者和科研機(jī)構(gòu)紛紛投入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究中。美國(guó)軍方大力資助了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究，并認(rèn)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比“原子彈工程”更重要。這段時(shí)間直到1969年才結(jié)束，這個(gè)時(shí)期可以看作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第一次高潮。
圖11 Rosenblat與感知器
下面來說明感知器模型。
在原來MP模型的“輸入”位置添加神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)，標(biāo)志其為“輸入單元”。其余不變，于是我們就有了下圖：從本圖開始，我們將權(quán)值w1, w2, w3寫到“連接線”的中間。
圖12 單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
在“感知器”中，有兩個(gè)層次。分別是輸入層和輸出層。輸入層里的“輸入單元”只負(fù)責(zé)傳輸數(shù)據(jù)，不做計(jì)算。輸出層里的“輸出單元”則需要對(duì)前面一層的輸入進(jìn)行計(jì)算。
我們把需要計(jì)算的層次稱之為“計(jì)算層”，并把擁有一個(gè)計(jì)算層的網(wǎng)絡(luò)稱之為“單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”。有一些文獻(xiàn)會(huì)按照網(wǎng)絡(luò)擁有的層數(shù)來命名，例如把“感知器”稱為兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。但在本文里，我們根據(jù)計(jì)算層的數(shù)量來命名。
假如我們要預(yù)測(cè)的目標(biāo)不再是一個(gè)值，而是一個(gè)向量，例如[2,3]。那么可以在輸出層再增加一個(gè)“輸出單元”。
下圖顯示了帶有兩個(gè)輸出單元的單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中輸出單元z1的計(jì)算公式如下圖。
圖13 單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Z1)
可以看到，z1的計(jì)算跟原先的z并沒有區(qū)別。
我們已知一個(gè)神經(jīng)元的輸出可以向多個(gè)神經(jīng)元傳遞，因此z2的計(jì)算公式如下圖。
圖14 單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Z2)
可以看到，z2的計(jì)算中除了三個(gè)新的權(quán)值：w4，w5，w6以外，其他與z1是一樣的。
整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輸出如下圖。
圖15 單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Z1和Z2)
目前的表達(dá)公式有一點(diǎn)不讓人滿意的就是：w4，w5，w6是后來加的，很難表現(xiàn)出跟原先的w1，w2，w3的關(guān)系。
因此我們改用二維的下標(biāo)，用wx,y來表達(dá)一個(gè)權(quán)值。下標(biāo)中的x代表后一層神經(jīng)元的序號(hào)，而y代表前一層神經(jīng)元的序號(hào)（序號(hào)的順序從上到下）。
例如，w1,2代表后一層的第1個(gè)神經(jīng)元與前一層的第2個(gè)神經(jīng)元的連接的權(quán)值（這種標(biāo)記方式參照了Andrew Ng的課件）。根據(jù)以上方法標(biāo)記，我們有了下圖。
圖16 單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(擴(kuò)展)
如果我們仔細(xì)看輸出的計(jì)算公式，會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)公式就是線性代數(shù)方程組。因此可以用矩陣乘法來表達(dá)這兩個(gè)公式。
例如，輸入的變量是[a1，a2，a3]T（代表由a1，a2，a3組成的列向量），用向量a來表示。方程的左邊是[z1，z2]T，用向量z來表示。
系數(shù)則是矩陣W（2行3列的矩陣，排列形式與公式中的一樣）。
于是，輸出公式可以改寫成：g(W * a) = z;
這個(gè)公式就是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中從前一層計(jì)算后一層的矩陣運(yùn)算。
與神經(jīng)元模型不同，感知器中的權(quán)值是通過訓(xùn)練得到的。因此，根據(jù)以前的知識(shí)我們知道，感知器類似一個(gè)邏輯回歸模型，可以做線性分類任務(wù)。
我們可以用決策分界來形象的表達(dá)分類的效果。決策分界就是在二維的數(shù)據(jù)平面中劃出一條直線，當(dāng)數(shù)據(jù)的維度是3維的時(shí)候，就是劃出一個(gè)平面，當(dāng)數(shù)據(jù)的維度是n維時(shí)，就是劃出一個(gè)n-1維的超平面。
下圖顯示了在二維平面中劃出決策分界的效果，也就是感知器的分類效果。
圖17 單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（決策分界）
感知器只能做簡(jiǎn)單的線性分類任務(wù)。但是當(dāng)時(shí)的人們熱情太過于高漲，并沒有人清醒的認(rèn)識(shí)到這點(diǎn)。于是，當(dāng)人工智能領(lǐng)域的巨擘Minsky指出這點(diǎn)時(shí)，事態(tài)就發(fā)生了變化。
Minsky在1969年出版了一本叫《Perceptron》的書，里面用詳細(xì)的數(shù)學(xué)證明了感知器的弱點(diǎn)，尤其是感知器對(duì)XOR（異或）這樣的簡(jiǎn)單分類任務(wù)都無法解決。
Minsky認(rèn)為，如果將計(jì)算層增加到兩層，計(jì)算量則過大，而且沒有有效的學(xué)習(xí)算法。所以，他認(rèn)為研究更深層的網(wǎng)絡(luò)是沒有價(jià)值的。
圖18 Marvin Minsky
由于Minsky的巨大影響力以及書中呈現(xiàn)的悲觀態(tài)度，讓很多學(xué)者和實(shí)驗(yàn)室紛紛放棄了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究陷入了冰河期。這個(gè)時(shí)期又被稱為“AI winter”。
接近10年以后，對(duì)于兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究才帶來神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)蘇。
兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是本文的重點(diǎn)，因?yàn)檎窃谶@時(shí)候，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開始了大范圍的推廣與使用
Minsky說過單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無法解決異或問題。但是當(dāng)增加一個(gè)計(jì)算層以后，兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅可以解決異或問題，而且具有非常好的非線性分類效果。不過兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算是一個(gè)問題，沒有一個(gè)較好的解法。
1986年，Rumelhar和Hinton等人提出了反向傳播（Backpropagation，BP）算法，解決了兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所需要的復(fù)雜計(jì)算量問題，從而帶動(dòng)了業(yè)界使用兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究的熱潮。目前，大量的教授神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的教材，都是重點(diǎn)介紹兩層（帶一個(gè)隱藏層）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)容。
這時(shí)候的Hinton還很年輕，30年以后，正是他重新定義了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，帶來了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)復(fù)蘇的又一春。
圖19 David Rumelhart（左）以及 Geoffery Hinton（右）
兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)除了包含一個(gè)輸入層，一個(gè)輸出層以外，還增加了一個(gè)中間層。此時(shí)，中間層和輸出層都是計(jì)算層。我們擴(kuò)展上節(jié)的單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在右邊新加一個(gè)層次（只含有一個(gè)節(jié)點(diǎn)）。
現(xiàn)在，我們的權(quán)值矩陣增加到了兩個(gè)，我們用上標(biāo)來區(qū)分不同層次之間的變量。
例如ax(y)代表第y層的第x個(gè)節(jié)點(diǎn)。z1，z2變成了a1(2)，a2(2)。下圖給出了a1(2)，a2(2)的計(jì)算公式。
圖20 兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（中間層計(jì)算）
計(jì)算最終輸出z的方式是利用了中間層的a1(2)，a2(2)和第二個(gè)權(quán)值矩陣計(jì)算得到的，如下圖。
圖21 兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（輸出層計(jì)算）
假設(shè)我們的預(yù)測(cè)目標(biāo)是一個(gè)向量，那么與前面類似，只需要在“輸出層”再增加節(jié)點(diǎn)即可。
我們使用向量和矩陣來表示層次中的變量。a(1)，a(2)，z是網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)南蛄繑?shù)據(jù)。W(1)和W(2)是網(wǎng)絡(luò)的矩陣參數(shù)。如下圖。
圖22 兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（向量形式）
使用矩陣運(yùn)算來表達(dá)整個(gè)計(jì)算公式的話如下： g(W(1) * a(1)) = a(2); g(W(2) * a(2)) = z;
由此可見，使用矩陣運(yùn)算來表達(dá)是很簡(jiǎn)潔的，而且也不會(huì)受到節(jié)點(diǎn)數(shù)增多的影響（無論有多少節(jié)點(diǎn)參與運(yùn)算，乘法兩端都只有一個(gè)變量）。因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的教程中大量使用矩陣運(yùn)算來描述。
需要說明的是，至今為止，我們對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖的討論中都沒有提到偏置節(jié)點(diǎn)（bias unit）。事實(shí)上，這些節(jié)點(diǎn)是默認(rèn)存在的。它本質(zhì)上是一個(gè)只含有存儲(chǔ)功能，且存儲(chǔ)值永遠(yuǎn)為1的單元。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)層次中，除了輸出層以外，都會(huì)含有這樣一個(gè)偏置單元。正如線性回歸模型與邏輯回歸模型中的一樣。
偏置單元與后一層的所有節(jié)點(diǎn)都有連接，我們?cè)O(shè)這些參數(shù)值為向量b，稱之為偏置。如下圖。
圖23 兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（考慮偏置節(jié)點(diǎn)）
可以看出，偏置節(jié)點(diǎn)很好認(rèn)，因?yàn)槠錄]有輸入（前一層中沒有箭頭指向它）。有些神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖中會(huì)把偏置節(jié)點(diǎn)明顯畫出來，有些不會(huì)。一般情況下，我們都不會(huì)明確畫出偏置節(jié)點(diǎn)。
在考慮了偏置以后的一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的矩陣運(yùn)算如下： g(W(1) * a(1) + b(1)) = a(2); g(W(2) * a(2) + b(2)) = z;
需要說明的是，在兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，我們不再使用sgn函數(shù)作為函數(shù)g，而是使用平滑函數(shù)sigmoid作為函數(shù)g。我們把函數(shù)g也稱作激活函數(shù)（active function）。
事實(shí)上，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的本質(zhì)就是通過參數(shù)與激活函數(shù)來擬合特征與目標(biāo)之間的真實(shí)函數(shù)關(guān)系。初學(xué)者可能認(rèn)為畫神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖是為了在程序中實(shí)現(xiàn)這些圓圈與線，但在一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的程序中，既沒有“線”這個(gè)對(duì)象，也沒有“單元”這個(gè)對(duì)象。實(shí)現(xiàn)一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最需要的是線性代數(shù)庫(kù)。
與單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同。理論證明，兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以無限逼近任意連續(xù)函數(shù)。
這是什么意思呢？也就是說，面對(duì)復(fù)雜的非線性分類任務(wù)，兩層（帶一個(gè)隱藏層）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以分類的很好。
下面就是一個(gè)例子（此兩圖來自colah的博客），紅色的線與藍(lán)色的線代表數(shù)據(jù)。而紅色區(qū)域和藍(lán)色區(qū)域代表由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)劃開的區(qū)域，兩者的分界線就是決策分界。
圖24 兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（決策分界）
可以看到，這個(gè)兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的決策分界是非常平滑的曲線，而且分類的很好。有趣的是，前面已經(jīng)學(xué)到過，單層網(wǎng)絡(luò)只能做線性分類任務(wù)。而兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的后一層也是線性分類層，應(yīng)該只能做線性分類任務(wù)。為什么兩個(gè)線性分類任務(wù)結(jié)合就可以做非線性分類任務(wù)？
我們可以把輸出層的決策分界單獨(dú)拿出來看一下。就是下圖。
圖25 兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（空間變換）
可以看到，輸出層的決策分界仍然是直線。關(guān)鍵就是，從輸入層到隱藏層時(shí)，數(shù)據(jù)發(fā)生了空間變換。也就是說，兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，隱藏層對(duì)原始的數(shù)據(jù)進(jìn)行了一個(gè)空間變換，使其可以被線性分類，然后輸出層的決策分界劃出了一個(gè)線性分類分界線，對(duì)其進(jìn)行分類。
這樣就導(dǎo)出了兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以做非線性分類的關(guān)鍵--隱藏層。聯(lián)想到我們一開始推導(dǎo)出的矩陣公式，我們知道，矩陣和向量相乘，本質(zhì)上就是對(duì)向量的坐標(biāo)空間進(jìn)行一個(gè)變換。因此，隱藏層的參數(shù)矩陣的作用就是使得數(shù)據(jù)的原始坐標(biāo)空間從線性不可分，轉(zhuǎn)換成了線性可分。
兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過兩層的線性模型模擬了數(shù)據(jù)內(nèi)真實(shí)的非線性函數(shù)。因此，多層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的本質(zhì)就是復(fù)雜函數(shù)擬合。
下面來討論一下隱藏層的節(jié)點(diǎn)數(shù)設(shè)計(jì)。在設(shè)計(jì)一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，輸入層的節(jié)點(diǎn)數(shù)需要與特征的維度匹配，輸出層的節(jié)點(diǎn)數(shù)要與目標(biāo)的維度匹配。而中間層的節(jié)點(diǎn)數(shù)，卻是由設(shè)計(jì)者指定的。因此，“自由”把握在設(shè)計(jì)者的手中。但是，節(jié)點(diǎn)數(shù)設(shè)置的多少，卻會(huì)影響到整個(gè)模型的效果。如何決定這個(gè)自由層的節(jié)點(diǎn)數(shù)呢？目前業(yè)界沒有完善的理論來指導(dǎo)這個(gè)決策。一般是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來設(shè)置。較好的方法就是預(yù)先設(shè)定幾個(gè)可選值，通過切換這幾個(gè)值來看整個(gè)模型的預(yù)測(cè)效果，選擇效果最好的值作為最終選擇。這種方法又叫做Grid Search（網(wǎng)格搜索）。
了解了兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)以后，我們就可以看懂其它類似的結(jié)構(gòu)圖。例如EasyPR字符識(shí)別網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)（下圖）。
圖26 EasyPR字符識(shí)別網(wǎng)絡(luò)
EasyPR使用了字符的圖像去進(jìn)行字符文字的識(shí)別。輸入是120維的向量。輸出是要預(yù)測(cè)的文字類別，共有65類。根據(jù)實(shí)驗(yàn)，我們測(cè)試了一些隱藏層數(shù)目，發(fā)現(xiàn)當(dāng)值為40時(shí)，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)在測(cè)試集上的效果較好，因此選擇網(wǎng)絡(luò)的最終結(jié)構(gòu)就是120，40，65。
下面簡(jiǎn)單介紹一下兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練。
在Rosenblat提出的感知器模型中，模型中的參數(shù)可以被訓(xùn)練，但是使用的方法較為簡(jiǎn)單，并沒有使用目前機(jī)器學(xué)習(xí)中通用的方法，這導(dǎo)致其擴(kuò)展性與適用性非常有限。從兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開始，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究人員開始使用機(jī)器學(xué)習(xí)相關(guān)的技術(shù)進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練。例如用大量的數(shù)據(jù)（1000-10000左右），使用算法進(jìn)行優(yōu)化等等，從而使得模型訓(xùn)練可以獲得性能與數(shù)據(jù)利用上的雙重優(yōu)勢(shì)。
機(jī)器學(xué)習(xí)模型訓(xùn)練的目的，就是使得參數(shù)盡可能的與真實(shí)的模型逼近。具體做法是這樣的。首先給所有參數(shù)賦上隨機(jī)值。我們使用這些隨機(jī)生成的參數(shù)值，來預(yù)測(cè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的樣本。樣本的預(yù)測(cè)目標(biāo)為yp，真實(shí)目標(biāo)為y。那么，定義一個(gè)值loss，計(jì)算公式如下。
loss = (yp - y)2
這個(gè)值稱之為損失（loss），我們的目標(biāo)就是使對(duì)所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)的損失和盡可能的小。
如果將先前的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的矩陣公式帶入到y(tǒng)p中（因?yàn)橛衵=yp），那么我們可以把損失寫為關(guān)于參數(shù)（parameter）的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱之為損失函數(shù)（loss function）。下面的問題就是求：如何優(yōu)化參數(shù)，能夠讓損失函數(shù)的值最小。
此時(shí)這個(gè)問題就被轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題。一個(gè)常用方法就是高等數(shù)學(xué)中的求導(dǎo)，但是這里的問題由于參數(shù)不止一個(gè)，求導(dǎo)后計(jì)算導(dǎo)數(shù)等于0的運(yùn)算量很大，所以一般來說解決這個(gè)優(yōu)化問題使用的是梯度下降算法。梯度下降算法每次計(jì)算參數(shù)在當(dāng)前的梯度，然后讓參數(shù)向著梯度的反方向前進(jìn)一段距離，不斷重復(fù)，直到梯度接近零時(shí)截止。一般這個(gè)時(shí)候，所有的參數(shù)恰好達(dá)到使損失函數(shù)達(dá)到一個(gè)最低值的狀態(tài)。
在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，每次計(jì)算梯度的代價(jià)很大。因此還需要使用反向傳播算法。反向傳播算法是利用了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行的計(jì)算。不一次計(jì)算所有參數(shù)的梯度，而是從后往前。首先計(jì)算輸出層的梯度，然后是第二個(gè)參數(shù)矩陣的梯度，接著是中間層的梯度，再然后是第一個(gè)參數(shù)矩陣的梯度，最后是輸入層的梯度。計(jì)算結(jié)束以后，所要的兩個(gè)參數(shù)矩陣的梯度就都有了。
反向傳播算法可以直觀的理解為下圖。梯度的計(jì)算從后往前，一層層反向傳播。前綴E代表著相對(duì)導(dǎo)數(shù)的意思。
圖27 反向傳播算法
反向傳播算法的啟示是數(shù)學(xué)中的鏈?zhǔn)椒▌t。在此需要說明的是，盡管早期神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究人員努力從生物學(xué)中得到啟發(fā)，但從BP算法開始，研究者們更多地從數(shù)學(xué)上尋求問題的最優(yōu)解。不再盲目模擬人腦網(wǎng)絡(luò)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究走向成熟的標(biāo)志。正如科學(xué)家們可以從鳥類的飛行中得到啟發(fā)，但沒有必要一定要完全模擬鳥類的飛行方式，也能制造可以飛天的飛機(jī)。
優(yōu)化問題只是訓(xùn)練中的一個(gè)部分。機(jī)器學(xué)習(xí)問題之所以稱為學(xué)習(xí)問題，而不是優(yōu)化問題，就是因?yàn)樗粌H要求數(shù)據(jù)在訓(xùn)練集上求得一個(gè)較小的誤差，在測(cè)試集上也要表現(xiàn)好。因?yàn)槟Ｐ妥罱K是要部署到?jīng)]有見過訓(xùn)練數(shù)據(jù)的真實(shí)場(chǎng)景。提升模型在測(cè)試集上的預(yù)測(cè)效果的主題叫做泛化（generalization），相關(guān)方法被稱作正則化（regularization）。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中常用的泛化技術(shù)有權(quán)重衰減等。
兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在多個(gè)地方的應(yīng)用說明了其效用與價(jià)值。10年前困擾神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)界的異或問題被輕松解決。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在這個(gè)時(shí)候，已經(jīng)可以發(fā)力于語音識(shí)別，圖像識(shí)別，自動(dòng)駕駛等多個(gè)領(lǐng)域。
歷史總是驚人的相似，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)者們?cè)俅蔚巧狭恕都~約時(shí)報(bào)》的專訪。人們認(rèn)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以解決許多問題。就連娛樂界都開始受到了影響，當(dāng)年的《終結(jié)者》電影中的阿諾都趕時(shí)髦地說一句：我的CPU是一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理器，一個(gè)會(huì)學(xué)習(xí)的計(jì)算機(jī)。
但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仍然存在若干的問題：盡管使用了BP算法，一次神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練仍然耗時(shí)太久，而且困擾訓(xùn)練優(yōu)化的一個(gè)問題就是局部最優(yōu)解問題，這使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化較為困難。同時(shí)，隱藏層的節(jié)點(diǎn)數(shù)需要調(diào)參，這使得使用不太方便，工程和研究人員對(duì)此多有抱怨。
90年代中期，由Vapnik等人發(fā)明的SVM（Support Vector Machines，支持向量機(jī)）算法誕生，很快就在若干個(gè)方面體現(xiàn)出了對(duì)比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢(shì)：無需調(diào)參；高效；全局最優(yōu)解。基于以上種種理由，SVM迅速打敗了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法成為主流。
圖28 Vladimir Vapnik
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究再次陷入了冰河期。當(dāng)時(shí)，只要你的論文中包含神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的字眼，非常容易被會(huì)議和期刊拒收，研究界那時(shí)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不待見可想而知。
在被人摒棄的10年中，有幾個(gè)學(xué)者仍然在堅(jiān)持研究。這其中的棋手就是加拿大多倫多大學(xué)的Geoffery Hinton教授。
2006年，Hinton在《Science》和相關(guān)期刊上發(fā)表了論文，首次提出了“深度信念網(wǎng)絡(luò)”的概念。與傳統(tǒng)的訓(xùn)練方式不同，“深度信念網(wǎng)絡(luò)”有一個(gè)“預(yù)訓(xùn)練”（pre-training）的過程，這可以方便的讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)值找到一個(gè)接近最優(yōu)解的值，之后再使用“微調(diào)”(fine-tuning)技術(shù)來對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化訓(xùn)練。這兩個(gè)技術(shù)的運(yùn)用大幅度減少了訓(xùn)練多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間。他給多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的學(xué)習(xí)方法賦予了一個(gè)新名詞--“深度學(xué)習(xí)”。
很快，深度學(xué)習(xí)在語音識(shí)別領(lǐng)域暫露頭角。接著，2012年，深度學(xué)習(xí)技術(shù)又在圖像識(shí)別領(lǐng)域大展拳腳。Hinton與他的學(xué)生在ImageNet競(jìng)賽中，用多層的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成功地對(duì)包含一千類別的一百萬張圖片進(jìn)行了訓(xùn)練，取得了分類錯(cuò)誤率15%的好成績(jī)，這個(gè)成績(jī)比第二名高了近11個(gè)百分點(diǎn)，充分證明了多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識(shí)別效果的優(yōu)越性。
在這之后，關(guān)于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究與應(yīng)用不斷涌現(xiàn)。
圖29 Geoffery Hinton
由于篇幅原因，本文不介紹CNN（Conventional Neural Network，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）與RNN（Recurrent Neural Network，遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）的架構(gòu)，下面我們只討論普通的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。
我們延續(xù)兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方式來設(shè)計(jì)一個(gè)多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。
在兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層后面，繼續(xù)添加層次。原來的輸出層變成中間層，新加的層次成為新的輸出層。所以可以得到下圖。
圖30 多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
依照這樣的方式不斷添加，我們可以得到更多層的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。公式推導(dǎo)的話其實(shí)跟兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類似，使用矩陣運(yùn)算的話就僅僅是加一個(gè)公式而已。
在已知輸入a(1)，參數(shù)W(1)，W(2)，W(3)的情況下，輸出z的推導(dǎo)公式如下：
g(W(1) * a(1)) = a(2);
g(W(2) * a(2)) = a(3);
g(W(3) * a(3)) = z;
多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸出也是按照一層一層的方式來計(jì)算。從最外面的層開始，算出所有單元的值以后，再繼續(xù)計(jì)算更深一層。只有當(dāng)前層所有單元的值都計(jì)算完畢以后，才會(huì)算下一層。有點(diǎn)像計(jì)算向前不斷推進(jìn)的感覺。所以這個(gè)過程叫做“正向傳播”。
下面討論一下多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)。
首先我們看第一張圖，可以看出W(1)中有6個(gè)參數(shù)，W(2)中有4個(gè)參數(shù)，W(3)中有6個(gè)參數(shù)，所以整個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)有16個(gè)（這里我們不考慮偏置節(jié)點(diǎn)，下同）。
圖31 多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（較少參數(shù)）
假設(shè)我們將中間層的節(jié)點(diǎn)數(shù)做一下調(diào)整。第一個(gè)中間層改為3個(gè)單元，第二個(gè)中間層改為4個(gè)單元。
經(jīng)過調(diào)整以后，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)變成了33個(gè)。
圖32 多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（較多參數(shù)）
雖然層數(shù)保持不變，但是第二個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)數(shù)量卻是第一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的接近兩倍之多，從而帶來了更好的表示（represention）能力。表示能力是多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)重要性質(zhì)，下面會(huì)做介紹。
在參數(shù)一致的情況下，我們也可以獲得一個(gè)“更深”的網(wǎng)絡(luò)。
圖33 多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（更深的層次）
上圖的網(wǎng)絡(luò)中，雖然參數(shù)數(shù)量仍然是33，但卻有4個(gè)中間層，是原來層數(shù)的接近兩倍。這意味著一樣的參數(shù)數(shù)量，可以用更深的層次去表達(dá)。
與兩層層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同。多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的層數(shù)增加了很多。
增加更多的層次有什么好處？更深入的表示特征，以及更強(qiáng)的函數(shù)模擬能力。
更深入的表示特征可以這樣理解，隨著網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)增加，每一層對(duì)于前一層次的抽象表示更深入。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，每一層神經(jīng)元學(xué)習(xí)到的是前一層神經(jīng)元值的更抽象的表示。例如第一個(gè)隱藏層學(xué)習(xí)到的是“邊緣”的特征，第二個(gè)隱藏層學(xué)習(xí)到的是由“邊緣”組成的“形狀”的特征，第三個(gè)隱藏層學(xué)習(xí)到的是由“形狀”組成的“圖案”的特征，最后的隱藏層學(xué)習(xí)到的是由“圖案”組成的“目標(biāo)”的特征。通過抽取更抽象的特征來對(duì)事物進(jìn)行區(qū)分，從而獲得更好的區(qū)分與分類能力。
關(guān)于逐層特征學(xué)習(xí)的例子，可以參考下圖。
圖34 多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（特征學(xué)習(xí)）
更強(qiáng)的函數(shù)模擬能力是由于隨著層數(shù)的增加，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)就越多。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)其實(shí)本質(zhì)就是模擬特征與目標(biāo)之間的真實(shí)關(guān)系函數(shù)的方法，更多的參數(shù)意味著其模擬的函數(shù)可以更加的復(fù)雜，可以有更多的容量（capcity）去擬合真正的關(guān)系。
通過研究發(fā)現(xiàn)，在參數(shù)數(shù)量一樣的情況下，更深的網(wǎng)絡(luò)往往具有比淺層的網(wǎng)絡(luò)更好的識(shí)別效率。這點(diǎn)也在ImageNet的多次大賽中得到了證實(shí)。從2012年起，每年獲得ImageNet冠軍的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)逐年增加，2015年最好的方法GoogleNet是一個(gè)多達(dá)22層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。
在最新一屆的ImageNet大賽上，目前拿到最好成績(jī)的MSRA團(tuán)隊(duì)的方法使用的更是一個(gè)深達(dá)152層的網(wǎng)絡(luò)！關(guān)于這個(gè)方法更多的信息有興趣的可以查閱ImageNet網(wǎng)站。
在單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，我們使用的激活函數(shù)是sgn函數(shù)。到了兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，我們使用的最多的是sigmoid函數(shù)。而到了多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，通過一系列的研究發(fā)現(xiàn)，ReLU函數(shù)在訓(xùn)練多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，更容易收斂，并且預(yù)測(cè)性能更好。因此，目前在深度學(xué)習(xí)中，最流行的非線性函數(shù)是ReLU函數(shù)。ReLU函數(shù)不是傳統(tǒng)的非線性函數(shù)，而是分段線性函數(shù)。其表達(dá)式非常簡(jiǎn)單，就是y=max(x,0)。簡(jiǎn)而言之，在x大于0，輸出就是輸入，而在x小于0時(shí)，輸出就保持為0。這種函數(shù)的設(shè)計(jì)啟發(fā)來自于生物神經(jīng)元對(duì)于激勵(lì)的線性響應(yīng)，以及當(dāng)?shù)陀谀硞€(gè)閾值后就不再響應(yīng)的模擬。
在多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，訓(xùn)練的主題仍然是優(yōu)化和泛化。當(dāng)使用足夠強(qiáng)的計(jì)算芯片（例如GPU圖形加速卡）時(shí)，梯度下降算法以及反向傳播算法在多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的訓(xùn)練中仍然工作的很好。目前學(xué)術(shù)界主要的研究既在于開發(fā)新的算法，也在于對(duì)這兩個(gè)算法進(jìn)行不斷的優(yōu)化，例如，增加了一種帶動(dòng)量因子（momentum）的梯度下降算法。
在深度學(xué)習(xí)中，泛化技術(shù)變的比以往更加的重要。這主要是因?yàn)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)增加了，參數(shù)也增加了，表示能力大幅度增強(qiáng)，很容易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。因此正則化技術(shù)就顯得十分重要。目前，Dropout技術(shù)，以及數(shù)據(jù)擴(kuò)容（Data-Augmentation）技術(shù)是目前使用的最多的正則化技術(shù)。
目前，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在人工智能界占據(jù)統(tǒng)治地位。但凡有關(guān)人工智能的產(chǎn)業(yè)報(bào)道，必然離不開深度學(xué)習(xí)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)界當(dāng)下的四位引領(lǐng)者除了前文所說的Ng，Hinton以外，還有CNN的發(fā)明人Yann Lecun，以及《Deep Learning》的作者Bengio。
前段時(shí)間一直對(duì)人工智能持謹(jǐn)慎態(tài)度的馬斯克，搞了一個(gè)OpenAI項(xiàng)目，邀請(qǐng)Bengio作為高級(jí)顧問。馬斯克認(rèn)為，人工智能技術(shù)不應(yīng)該掌握在大公司如Google，F(xiàn)acebook的手里，更應(yīng)該作為一種開放技術(shù)，讓所有人都可以參與研究。馬斯克的這種精神值得讓人敬佩。
圖35 Yann LeCun（左）和 Yoshua Bengio（右）
多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究仍在進(jìn)行中。現(xiàn)在最為火熱的研究技術(shù)包括RNN，LSTM等，研究方向則是圖像理解方面。圖像理解技術(shù)是給計(jì)算
機(jī)一幅圖片，讓它用語言來表達(dá)這幅圖片的意思。ImageNet競(jìng)賽也在不斷召開，有更多的方法涌現(xiàn)出來，刷新以往的正確率。
我們回顧一下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展的歷程。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展歷史曲折蕩漾，既有被人捧上天的時(shí)刻，也有摔落在街頭無人問津的時(shí)段，中間經(jīng)歷了數(shù)次大起大落。
從單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（感知器）開始，到包含一個(gè)隱藏層的兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，再到多層的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，一共有三次興起過程。詳見下圖。
圖36 三起三落的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
上圖中的頂點(diǎn)與谷底可以看作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展的高峰與低谷。圖中的橫軸是時(shí)間，以年為單位。縱軸是一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)影響力的示意表示。如果把1949年Hebb模型提出到1958年的感知機(jī)誕生這個(gè)10年視為落下（沒有興起）的話，那么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算是經(jīng)歷了“三起三落”這樣一個(gè)過程，跟“小平”同志類似。俗話說，天將降大任于斯人也，必先苦其心志，勞其筋骨。經(jīng)歷過如此多波折的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠在現(xiàn)階段取得成功也可以被看做是磨礪的積累吧。
歷史最大的好處是可以給現(xiàn)在做參考。科學(xué)的研究呈現(xiàn)螺旋形上升的過程，不可能一帆風(fēng)順。同時(shí)，這也給現(xiàn)在過分熱衷深度學(xué)習(xí)與人工智能的人敲響警鐘，因?yàn)檫@不是第一次人們因?yàn)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)而瘋狂了。1958年到1969年，以及1985年到1995，這兩個(gè)十年間人們對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及人工智能的期待并不現(xiàn)在低，可結(jié)果如何大家也能看的很清楚。
因此，冷靜才是對(duì)待目前深度學(xué)習(xí)熱潮的最好辦法。如果因?yàn)樯疃葘W(xué)習(xí)火熱，或者可以有“錢景”就一窩蜂的涌入，那么最終的受害人只能是自己。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)界已經(jīng)兩次有被人們捧上天了的境況，相信也對(duì)于捧得越高，摔得越慘這句話深有體會(huì)。因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)界的學(xué)者也必須給這股熱潮澆上一盆水，不要讓媒體以及投資家們過分的高看這門技術(shù)。很有可能，三十年河?xùn)|，三十年河西，在幾年后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就再次陷入谷底。根據(jù)上圖的歷史曲線圖，這是很有可能的。
下面說一下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為什么能這么火熱？簡(jiǎn)而言之，就是其學(xué)習(xí)效果的強(qiáng)大。隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，其表示性能越來越強(qiáng)。
從單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，到兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，再到多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，下圖說明了，隨著網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增加，以及激活函數(shù)的調(diào)整，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所能擬合的決策分界平面的能力。
圖37 表示能力不斷增強(qiáng)
可以看出，隨著層數(shù)增加，其非線性分界擬合能力不斷增強(qiáng)。圖中的分界線并不代表真實(shí)訓(xùn)練出的效果，更多的是示意效果
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究與應(yīng)用之所以能夠不斷地火熱發(fā)展下去，與其強(qiáng)大的函數(shù)擬合能力是分不開關(guān)系的。
當(dāng)然，光有強(qiáng)大的內(nèi)在能力，并不一定能成功。一個(gè)成功的技術(shù)與方法，不僅需要內(nèi)因的作用，還需要時(shí)勢(shì)與環(huán)境的配合。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展背后的外在原因可以被總結(jié)為：更強(qiáng)的計(jì)算性能，更多的數(shù)據(jù)，以及更好的訓(xùn)練方法。只有滿足這些條件時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)擬合能力才能得已體現(xiàn)，見下圖。
圖38 發(fā)展的外在原因
之所以在單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)年代，Rosenblat無法制作一個(gè)雙層分類器，就在于當(dāng)時(shí)的計(jì)算性能不足，Minsky也以此來打壓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。但是Minsky沒有料到，僅僅10年以后，計(jì)算機(jī)CPU的快速發(fā)展已經(jīng)使得我們可以做兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，并且還有快速的學(xué)習(xí)算法BP。
但是在兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)快速流行的年代。更高層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于計(jì)算性能的問題，以及一些計(jì)算方法的問題，其優(yōu)勢(shì)無法得到體現(xiàn)。直到2012年，研究人員發(fā)現(xiàn)，用于高性能計(jì)算的圖形加速卡（GPU）可以極佳地匹配神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練所需要的要求：高并行性，高存儲(chǔ)，沒有太多的控制需求，配合預(yù)訓(xùn)練等算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)才得以大放光彩。
互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，大量的數(shù)據(jù)被收集整理，更好的訓(xùn)練方法不斷被發(fā)現(xiàn)。所有這一切都滿足了多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)揮能力的條件。
“時(shí)勢(shì)造英雄”，正如Hinton在2006年的論文里說道的
“... provided that computers were fast enough, data sets were big enough, and the initial weights were close enough to a good solution. All three conditions are now satisfied.”，外在條件的滿足也是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從神經(jīng)元得以發(fā)展到目前的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要因素。
除此以外，一門技術(shù)的發(fā)揚(yáng)沒有“伯樂”也是不行的。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)漫長(zhǎng)的歷史中，正是由于許多研究人員的鍥而不舍，不斷鉆研，才能有了現(xiàn)在的成就。前期的Rosenblat，Rumelhart沒有見證到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如今的流行與地位。但是在那個(gè)時(shí)代，他們?yōu)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展所打下的基礎(chǔ)，卻會(huì)永遠(yuǎn)流傳下去，不會(huì)退色。
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)雖然很重要，但是對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)，卻并不容易。這些學(xué)習(xí)困難主要來自以下三個(gè)方面：概念，類別，教程。下面簡(jiǎn)單說明這三點(diǎn)
對(duì)于一門技術(shù)的學(xué)習(xí)而言，首先最重要的是弄清概念。只有將概念理解清楚，才能順暢的進(jìn)行后面的學(xué)習(xí)。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)漫長(zhǎng)的發(fā)展歷史，經(jīng)常會(huì)有一些概念容易混淆，讓人學(xué)習(xí)中產(chǎn)生困惑。這里面包括歷史的術(shù)語，不一致的說法，以及被遺忘的研究等。
歷史的術(shù)語
這個(gè)的代表就是多層感知器（MLP）這個(gè)術(shù)語。起初看文獻(xiàn)時(shí)很難理解的一個(gè)問題就是，為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)又有另一個(gè)名稱：MLP。其實(shí)MLP（Multi-Layer Perceptron）的名稱起源于50-60年代的感知器（Perceptron）。由于我們?cè)诟兄髦嫌衷黾恿艘粋€(gè)計(jì)算層，因此稱為多層感知器。值得注意的是，雖然叫“多層”，MLP一般都指的是兩層（帶一個(gè)隱藏層的）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。
MLP這個(gè)術(shù)語屬于歷史遺留的產(chǎn)物。現(xiàn)在我們一般就說神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以及深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。前者代表帶一個(gè)隱藏層的兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也是EasyPR目前使用的識(shí)別網(wǎng)絡(luò)，后者指深度學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)。
不一致的說法
這個(gè)最明顯的代表就是損失函數(shù)loss function，這個(gè)還有兩個(gè)說法是跟它完全一致的意思，分別是殘差函數(shù)error function，以及代價(jià)函數(shù)cost function。loss function是目前深度學(xué)習(xí)里用的較多的一種說法，caffe里也是這么叫的。cost function則是Ng在coursera教學(xué)視頻里用到的統(tǒng)一說法。這三者都是同一個(gè)意思，都是優(yōu)化問題所需要求解的方程。雖然在使用的時(shí)候不做規(guī)定，但是在聽到各種講解時(shí)要心里明白。
再來就是權(quán)重weight和參數(shù)parameter的說法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)界由于以前的慣例，一般會(huì)將訓(xùn)練得到的參數(shù)稱之為權(quán)重，而不像其他機(jī)器學(xué)習(xí)方法就稱之為參數(shù)。這個(gè)需要記住就好。不過在目前的使用慣例中，也有這樣一種規(guī)定。那就是非偏置節(jié)點(diǎn)連接上的值稱之為權(quán)重，而偏置節(jié)點(diǎn)上的值稱之為偏置，兩者統(tǒng)一起來稱之為參數(shù)。
另外一個(gè)同義詞就是激活函數(shù)active function和轉(zhuǎn)移函數(shù)transfer function了。同樣，他們代表一個(gè)意思，都是疊加的非線性函數(shù)的說法。
被遺忘的研究
由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展歷史已經(jīng)有70年的漫長(zhǎng)歷史，因此在研究過程中，必然有一些研究分支屬于被遺忘階段。這里面包括各種不同的網(wǎng)絡(luò)，例如SOM（Self-Organizing Map，自組織特征映射網(wǎng)絡(luò)），SNN（Synergetic Neural Network，協(xié)同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)），ART（Adaptive Resonance Theory，自適應(yīng)共振理論網(wǎng)絡(luò)）等等。所以看歷史文獻(xiàn)時(shí)會(huì)看到許多沒見過的概念與名詞。
有些歷史網(wǎng)絡(luò)甚至?xí)匦鲁蔀樾碌难芯繜狳c(diǎn)，例如RNN與LSTM就是80年代左右開始的研究，目前已經(jīng)是深度學(xué)習(xí)研究中的重要一門技術(shù)，在語音與文字識(shí)別中有很好的效果。
對(duì)于這些易于混淆以及弄錯(cuò)的概念，務(wù)必需要多方參考文獻(xiàn)，理清上下文，這樣才不會(huì)在學(xué)習(xí)與閱讀過程中迷糊。
下面談一下關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的不同類別。
其實(shí)本文的名字“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)淺講”并不合適，因?yàn)楸疚牟⒉皇侵v的是“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”的內(nèi)容，而是其中的一個(gè)子類，也是目前最常說的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)下圖的分類可以看出。
圖39 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的類別
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)其實(shí)是一個(gè)非常寬泛的稱呼，它包括兩類，一類是用計(jì)算機(jī)的方式去模擬人腦，這就是我們常說的ANN（人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)），另一類是研究生物學(xué)上的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，又叫生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于我們計(jì)算機(jī)人士而言，肯定是研究前者。
在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之中，又分為前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這兩種。那么它們兩者的區(qū)別是什么呢？這個(gè)其實(shí)在于它們的結(jié)構(gòu)圖。我們可以把結(jié)構(gòu)圖看作是一個(gè)有向圖。其中神經(jīng)元代表頂點(diǎn)，連接代表有向邊。對(duì)于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，這個(gè)有向圖是沒有回路的。你可以仔細(xì)觀察本文中出現(xiàn)的所有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖，確認(rèn)一下。而對(duì)于反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，結(jié)構(gòu)圖的有向圖是有回路的。反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也是一類重要的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。其中Hopfield網(wǎng)絡(luò)就是反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。深度學(xué)習(xí)中的RNN也屬于一種反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。
具體到前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，就有了本文中所分別描述的三個(gè)網(wǎng)絡(luò)：?jiǎn)螌由窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)，雙層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以及多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。深度學(xué)習(xí)中的CNN屬于一種特殊的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。另外，在一些Blog中和文獻(xiàn)中看到的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是什么？其實(shí)它們就是使用了反向傳播BP算法的兩層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。也是最普遍的一種兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。
通過以上分析可以看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這種說法其實(shí)是非常廣義的，具體在文章中說的是什么網(wǎng)絡(luò)，需要根據(jù)文中的內(nèi)容加以區(qū)分。
如何更好的學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，認(rèn)真的學(xué)習(xí)一門課程或者看一本著作都是很有必要的。
說到網(wǎng)絡(luò)教程的話，這里必須說一下Ng的機(jī)器學(xué)習(xí)課程。對(duì)于一個(gè)初學(xué)者而言，Ng的課程視頻是非常有幫助的。Ng一共開設(shè)過兩門機(jī)器學(xué)習(xí)公開課程：一個(gè)是2003年在Standford開設(shè)的，面向全球的學(xué)生，這個(gè)視頻現(xiàn)在可以在網(wǎng)易公開課上找到；另一個(gè)是2010年專門為Coursera上的用戶開設(shè)的，需要登陸Coursera上才能學(xué)習(xí)。
但是，需要注意點(diǎn)是，這兩個(gè)課程對(duì)待神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的態(tài)度有點(diǎn)不同。早些的課程一共有20節(jié)課，Ng花了若干節(jié)課去專門講SVM以及SVM的推導(dǎo)，而當(dāng)時(shí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，僅僅放了幾段視頻，花了大概不到20分鐘（一節(jié)課60分鐘左右）。而到了后來的課程時(shí)，總共10節(jié)的課程中，Ng給了完整的兩節(jié)給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，詳細(xì)介紹了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反向傳播算法。同時(shí)給SVM只有一節(jié)課，并且沒有再講SVM的推導(dǎo)過程。下面兩張圖分別是Ng介紹神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的開篇，可以大致看出一些端倪。
圖40 Ng與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
為什么Ng對(duì)待神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反應(yīng)前后相差那么大？事實(shí)上就是深度學(xué)習(xí)的原因。Ng實(shí)踐了深度學(xué)習(xí)的效果，認(rèn)識(shí)到深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)--神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要性。這就是他在后面重點(diǎn)介紹神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的原因。總之，對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)而言，我更推薦Coursera上的。因?yàn)樵谀莻€(gè)時(shí)候，Ng才是真正的把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一門重要的機(jī)器學(xué)習(xí)方法去傳授。你可以從他上課的態(tài)度中感受到他的重視，以及他希望你能學(xué)好的期望。
回到我們對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)歷史的討論，根據(jù)歷史趨勢(shì)圖來看，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及深度學(xué)習(xí)會(huì)不會(huì)像以往一樣再次陷入谷底？作者認(rèn)為，這個(gè)過程可能取決于量子計(jì)算機(jī)的發(fā)展。
根據(jù)一些最近的研究發(fā)現(xiàn)，人腦內(nèi)部進(jìn)行的計(jì)算可能是類似于量子計(jì)算形態(tài)的東西。而且目前已知的最大神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟人腦的神經(jīng)元數(shù)量相比，仍然顯得非常小，僅不及1%左右。所以未來真正想實(shí)現(xiàn)人腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模擬，可能需要借助量子計(jì)算的強(qiáng)大計(jì)算能力。
各大研究組也已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了量子計(jì)算的重要性。谷歌就在開展量子計(jì)算機(jī)D-wave的研究，希望用量子計(jì)算來進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)，并且在前段時(shí)間有了突破性的進(jìn)展。國(guó)內(nèi)方面，阿里和中科院合作成立了量子計(jì)算實(shí)驗(yàn)室，意圖進(jìn)行量子計(jì)算的研究。
如果量子計(jì)算發(fā)展不力，仍然需要數(shù)十年才能使我們的計(jì)算能力得以突飛猛進(jìn)的發(fā)展，那么缺少了強(qiáng)大計(jì)算能力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可能會(huì)無法一帆風(fēng)順的發(fā)展下去。這種情況可以類比為80-90年時(shí)期神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因?yàn)橛?jì)算能力的限制而被低估與忽視。假設(shè)量子計(jì)算機(jī)真的能夠與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，并且助力真正的人工智能技術(shù)的誕生，而且量子計(jì)算機(jī)發(fā)展需要10年的話，那么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可能還有10年的發(fā)展期。直到那時(shí)期以后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)才能真正接近實(shí)現(xiàn)AI這一目標(biāo)。
圖41 量子計(jì)算
最后，作者想簡(jiǎn)單地談?wù)剬?duì)目前人工智能的看法。雖然現(xiàn)在人工智能非常火熱，但是距離真正的人工智能還有很大的距離。就拿計(jì)算機(jī)視覺方向來說，面對(duì)稍微復(fù)雜一些的場(chǎng)景，以及易于混淆的圖像，計(jì)算機(jī)就可能難以識(shí)別。因此，這個(gè)方向還有很多的工作要做。
就普通人看來，這么辛苦的做各種實(shí)驗(yàn)，以及投入大量的人力就是為了實(shí)現(xiàn)一些不及孩童能力的視覺能力，未免有些不值。但是這只是第一步。雖然計(jì)算機(jī)需要很大的運(yùn)算量才能完成一個(gè)普通人簡(jiǎn)單能完成的識(shí)圖工作，但計(jì)算機(jī)最大的優(yōu)勢(shì)在于并行化與批量推廣能力。使用計(jì)算機(jī)以后，我們可以很輕易地將以前需要人眼去判斷的工作交給計(jì)算機(jī)做，而且?guī)缀鯖]有任何的推廣成本。這就具有很大的價(jià)值。正如火車剛誕生的時(shí)候，有人嘲笑它又笨又重，速度還沒有馬快。但是很快規(guī)模化推廣的火車就替代了馬車的使用。人工智能也是如此。這也是為什么目前世界上各著名公司以及政府都對(duì)此熱衷的原因。
目前看來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)要想實(shí)現(xiàn)人工智能還有很多的路要走，但方向至少是正確的，下面就要看后來者的不斷努力了。
圖42 人工智能
本文回顧了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展歷史，從神經(jīng)元開始，歷經(jīng)單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，直到多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在歷史介紹中穿插講解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，分類效果以及訓(xùn)練方法等。本文說明了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部實(shí)際上就是矩陣計(jì)算，在程序中的實(shí)現(xiàn)沒有“點(diǎn)”和“線”的對(duì)象。本文說明了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大預(yù)測(cè)能力的根本，就是多層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以無限逼近真實(shí)的對(duì)應(yīng)函數(shù)，從而模擬數(shù)據(jù)之間的真實(shí)關(guān)系。除此之外，本文分析了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展的外在原因，包括計(jì)算能力的增強(qiáng)，數(shù)據(jù)的增多，以及方法的創(chuàng)新。接著，本文給出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的建議，即理清概念，分清類別，以及系統(tǒng)地學(xué)習(xí)一門課程。最后，本文對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的未來進(jìn)行了展望，包括量子計(jì)算與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的可能性，以及探討未來人工智能發(fā)展的前景與價(jià)值。
本篇文章可以視為作者一年來對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理解與總結(jié)，包括實(shí)驗(yàn)的體會(huì)，書籍的閱讀，以及思考的火花等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)雖然重要，但學(xué)習(xí)并不容易。這主要是由于其結(jié)構(gòu)圖較為難懂，以及歷史發(fā)展的原因，導(dǎo)致概念容易混淆，一些介紹的博客與網(wǎng)站內(nèi)容新舊不齊。本篇文章著眼于這些問題，沒有太多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，意圖以一種簡(jiǎn)單的，直觀的方式對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行講解。在2015年最后一天終于寫完。希望本文可以對(duì)各位有所幫助。
最后，作者很感謝能夠閱讀到這里的讀者。如果看完覺得好的話，還請(qǐng)輕輕點(diǎn)一下贊，你們的鼓勵(lì)就是作者繼續(xù)行文的動(dòng)力。
目前為止，EasyPR的1.4版已經(jīng)將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）訓(xùn)練的模塊加以開放，開發(fā)者們可以使用這個(gè)模塊來進(jìn)行自己的字符模型的訓(xùn)練。有興趣的可以下載。
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參考文獻(xiàn)：
Neural Networks
Andrew Ng Neural Networks
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)史
中科院 史忠植 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 講義
深度學(xué)習(xí) 胡曉林
