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編輯 | 琰琰
數論是人類知識最古老的一個分支，然而它最深奧的秘密與其最平凡的真理是密切相連的。數學原理極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏的極深。可以說數學，是一切科學的基礎。就如諾貝爾獎得主費曼說：如果沒有數學語言，宇宙似乎是不可以描述的。
徐宗本院士曾表示，數學與 AI 的關系是「融通共進」。一方面，人工智能的基礎之一是數學，因此人工智能想要行穩致遠，就必須先把數學的基本問題解決好；另一方面，人工智能的發展也對數學領域的研究產生了重要的推動作用。
只是目前為止，人工智能技術未能在純數學研究中取得重大突破。
12月1日，Nature雜志刊登文章《Advancing mathematics by guiding human intuition with AI》，驗證了機器學習在發現數學猜想和定理方面有著巨大潛力。
相關鏈接：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x
這篇文章出自人工智能明星公司DeepMind團隊，他們與數學領域的頂級科學家合作，在拓撲學和表象理論方面證明了兩個新猜想：
與悉尼大學Geordie Williamson教授合作接近證明了一個關于卡茲丹—盧斯提格多項式的古老猜想，這個猜想已困擾數學家們40多年。
與牛津大學Marc Lackenby教授和András Juhász教授一起，通過研究拓撲學紐結理論觀察到代數和幾何不變量之間的驚人聯系。這是利用機器學習做出的第一個重大數學發現。
在這篇最新論文中，計算機科學家和數學家們首次使用AI來幫助證明或提出新的數學定理，包括復雜理論中的紐結理論和表象理論。
該論文的研究團隊提出采用一種機器學習模型，來發現數學對象之間的潛在模式和關聯，用歸因技術加以輔助理解，并利用這些觀察進一步指導直覺思維和提出猜想的過程。
這次研究中，AI幫助探索的數學方向是表象理論。表象理論屬于線性對稱理論，是利用線性代數探索高維空間的數學分支，而該論文的合著者Williamson教授是全球公認的表象理論的領導者。
Williamson教授說：“在我所研究的領域中，為了證明或反駁長期存在的猜想，有時需要考慮跨越多維度的無限空間和極其復雜的方程組”。雖然計算機長期以來一直被用來為實驗數學生成數據，但識別有趣模式的任務主要依賴于數學家自己的直覺。
眾所周知，數學家的直覺在數學發現中起著極其重要的作用——“只有結合嚴格的形式主義和良好的直覺思維，才能解決復雜的數學問題”。
然而，DeepMind的新突破打開了一扇嶄新的大門。
DeepMind團隊在論文中描述了一種通用的框架方法，在這個框架之下，數學家可以使用ML工具來指導他們對復雜數學對象的直覺，驗證關系存在的假設，并理解這些關系。
Williamson教授就利用AI，在證明關于Kazhdan-Lusztig多項式的古老猜想的道路上離目標越來越近，當然，這些猜想涉及高維代數中的深度對稱性。可以說，Kazhdan-Lusztig（KL）是代數群表示論近40年來最重要的發展之一。
而來自牛津大學的Marc Lackeby教授和András Juhász教授，則進一步研究了該過程。
他們發現了紐結的代數和幾何不變量之間驚人的關聯，建立了數學中一個全新的定理。這些不變量有許多不同的推導方式，研究團隊將目標主要聚焦在兩大類：雙曲不變量和代數不變量。兩者來自完全不同的學科，這增加了研究的挑戰性和趣味性。
研究團隊假設，在一個紐結的雙曲不變量和代數不變量之間存在著一種未被發現的關系。監督學習模型能夠檢測到大量幾何不變量和簽名之間存在的模式。如下圖所示，由歸因技術確定最相關的特征。
通過計算歸因技術確定的最相關的顯著子圖，分析這些圖與原始圖相比的邊緣分布，有助于進一步探索結構證據。
圖注：a. 在預測 q4 時，與數據集中跨區間的平均值相比，顯著子圖中存在的反射百分比增加的示例熱圖。b. 與來自數據集的10個相同大小的自舉樣本相比，模型的10次再訓練在顯著子圖中觀察到的每種類型的邊緣的百分比。誤差線是95%的置信區間，顯示的顯著性水平是使用雙側雙樣本t檢驗確定的。* p < 0.05；****p < 0.0001。c. 通過假設、監督學習和歸因的迭代過程發現的有趣子結構的區間021435–240513∈S6的說明。受先前工作啟發的子圖以紅色突出顯示，超立方體以綠色突出顯示，分解分量同構于SN-1中的區間以藍色突出顯示。
紐結作為低維拓撲中的基本對象之一，是一個嵌入三維空間的扭曲環。紐結理論可幫助數學家理解紐結的特性以及它與其他數學分支的關系，在生物、物理學科中也有無數應用，如理解DNA鏈、流體動力學等。
誠如Williamson所說，識別有趣模式的任務主要依賴于數學家自己的直覺，Juhász教授也表示：“純數學家的工作方式是制定猜想并證明這些猜想，從而得出定理。但是，這些猜想從何而來呢？”
DeepMind的研究已證明，在數學直覺思維的指導下，ML提供了一個強大的框架，在有大量可用數據的領域，或者對象太大而無法應用經典方法研究的領域，可以幫助數學家發現有趣且可證明的猜想。
2016年3月，AlphaGo與圍棋世界冠軍、職業九段棋手李世乭進行圍棋人機大戰，以4比1的總比分獲勝。隨后AlphaGo在圍棋界取得了一連串緊鑼密鼓的勝利，但其背后的DeepMind團隊曾表示AlphaGo僅僅是他們AI項目的一個分支。
在未來，DeepMind將一直秉承的理念是：用人工智能解決一切重大科學問題。
基礎數學無疑屬于重大科學問題的范疇。正如Geordie Williamson教授所說：“數學問題一度被認為是最具智力挑戰性的問題……雖然數學家們已經使用ML來幫助分析復雜的數據集，但這是我們第一次使用計算機來輔助形成猜想，或為數學中未經證實的想法提出可能的突破路線。”
圖注：Geordie Williamson教授
Geordie Williamson教授是悉尼大學數學研究所所長，也是世界上最重要的數學家之一，在純數學領域有著非凡的成績，是全球公認的表象理論的領導者。作為此次論文的合著者，他運用AI在其專業領域成功展開大膽的探索猜想。
論文的一作Alex Davies博士也表示：AI技術已足夠先進，足以有力推動許多不同學科的進步。其中，純數學就是一個典例。團隊的研究人員希望，這篇論文能給其他學者帶來靈感和啟發，充分認識AI在其領域中的潛力。
可見，人工智能在如今的數學研究中已展現出巨大的潛力。追溯歷史，計算機科學在數學史上的貢獻也是功不可沒。
上世紀五十年代，美國華裔數學家王浩等人利用計算機研究羅素和懷德海的名著《數學原理》中定理的證明，成果突出。從上世紀七十年代后期開始，我國數學家吳文俊、張景中等，著手用計算機證明幾何定理，在國際上產生了巨大影響。
圖注：華裔數學家王浩
1878年6月13日英國數學家凱萊在數學會上正式提出了四色猜想，然后，對四色猜想的證明就如火如荼地展開了，但由于沒有大數學家的參與和人工算力的局限，俄羅斯數學家閔科夫斯曾在演算失敗后感嘆：上帝在懲罰閔科夫斯基的狂妄。其難度可見一斑。1976年，兩個美國人阿貝爾和哈肯終于用計算機證明了四色猜想，此舉立刻得到社會上的認可，1976年美國伊利諾地方的郵戳上甚至印有紀念文字：“Four colors surfice”。
被譽為「數學世界亞歷山大」的德國數學家大衛 · 希爾伯特曾提出23個問題，其中多數已得到完整解決或部分解決。120年后的今天，杜克大學教授 Samit Dasgupta和印度科學研究院教授 Mahesh Kakde終于在計算機程序的助力下找到數字系統的構建塊，完美證明了第十二個數學難題“一般代數數域的阿貝爾擴張”。
多年來，數學家一直使用計算機生成數據，以幫助尋找模式。這種被稱為實驗數學的研究產生了著名的猜想，如Birch和Swinnerton-Dyer猜想——六個“千禧年大獎難題”之一，是數學中最著名的開放性問題（每個問題的獎金都高達一百萬美元）。
雖然這種方法已成功實踐并且變得相當普遍，但從這些數據中識別和發現模式仍然主要依靠數學家。
在純數學中，現在生成的數據可能比任何數學家一生所能合理預期的要多，因此，發現模式變得愈加重要。一些感興趣的物體，比如那些具有數千維空間的物體可能因為太深不可測而無法直接推理，考慮到這些限制，DeepMind團隊相信人工智能將能夠以全新的方式增強數學家的洞察力。
參考資料：
https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1
https://mp.weixin.qq.com/s/iPjIemHKHenyvtaUTESRig
https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x
http://m.zaocj.com/category/academic/uOmvQDxfp64OhOKU.html
https://deepmind.com/blog/article/exploring-the-beauty-of-pure-mathematics-in-novel-ways
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